华南理工大学 数学物理方程2026 期末考试知识点总结

参考教材：《偏微分方程简明教程 第2版》（朱长江、阮立志） 对应课件：课程 PPT（共 6 章 28 个课时幻灯片） 适用考试：偏微分方程 / 数学物理方程 期末考试

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第一章 方程的导出及定解问题的提法

1.1 基本概念

• 偏微分方程：含多元未知函数及其偏导数的方程
• 阶：最高阶偏导数的阶数
• 线性：关于未知函数及其所有偏导数是一次的
• 齐次：自由项（不含未知函数及其导数的项）为零

判断方法：若方程中 $u, u_x, u_{xx}, u_{xy}$ 等项都是一次的，则为线性；若自由项 $=0$ 为齐次，否则非齐次。

1.2 三大经典方程的导出

(1) 弦振动方程（一维波动方程）

• 物理背景：均匀柔软的细弦在平衡位置附近的微小横振动
• 基本假设：弦柔软无抗弯、小振幅（$u_x^2 \ll 1$）、均匀材质、张力近似恒定
• 方程形式：

$$ u_{tt} – a^2 u_{xx} = 0, \quad a^2 = \frac{T}{\rho} $$

• 高维推广：

$$ u_{tt} – a^2(u_{xx} + u_{yy}) = 0 \quad (\text{二维}) $$

$$ u_{tt} – a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = 0 \quad (\text{三维}) $$

• 非齐次：$u_{tt} – a^2 u_{xx} = f(x,t)$（有强迫外力）

(2) 热传导方程

• 物理背景：物体内部的热量传导过程
• 推导依据：热量守恒 + Fourier 热传导定律（$q = -\kappa \nabla u$）

$$ u_t – a^2 \nabla^2 u = 0, \quad a^2 = \frac{\kappa}{C\rho} $$

• 高维形式：

$$ u_t – a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = 0 $$

• 非齐次：$u_t – a^2 \nabla^2 u = f(x,t)$（有热源）
• 稳态情形即 Poisson 方程：$\nabla^2 u = -f$

(3) Laplace 方程 / Poisson 方程

• 物理背景：稳态温度分布、静电场势函数、不可压缩流体的势流
• 方程形式：

$$ \nabla^2 u = 0 \quad (\text{Laplace 方程}), \qquad \nabla^2 u = -f \quad (\text{Poisson 方程}) $$

1.3 定解条件与定解问题

定解条件类型：

• 初值条件（初始条件）：$t=0$ 时状态，形式为 $u(x,0) = \phi(x),; u_t(x,0) = \psi(x)$（适用于波动方程）
• 边值条件（边界条件）：边界上的约束，分为以下三类

三类边界条件：

1. 第一类（Dirichlet）：$u\mid_{\Gamma} = \phi$ —— 边界温度已知
2. 第二类（Neumann）：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}\Big\vert_{\Gamma} = \phi$ —— 边界热流已知
3. 第三类（Robin）：$\displaystyle \left(\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right)\Big\vert_{\Gamma} = \phi$ —— 热交换（Newton 冷却）

定解问题的类型：

• Cauchy 问题（初值问题）：方程 + 初值条件，典型例子为无界弦振动
• 混合问题：方程 + 初值条件 + 边界条件，典型例子为有界弦振动
• 边值问题：方程 + 边界条件，典型例子为 Laplace 方程

适定性（well-posedness）

适定性三要素：

1. 存在性：解存在
2. 唯一性：解唯一
3. 稳定性：定解数据微小变化时，解的变化也微小

考试提示：能判断一个方程是几阶、线性/非线性、齐次/非齐次；能匹配方程类型和物理背景。

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第二章 二阶方程的特征理论与分类

2.1 两个自变量的二阶线性方程

一般形式：

$$ a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + b_1 u_x + b_2 u_y + cu = f $$

判别式：

$$ \Delta = a_{12}^2 – a_{11}a_{22} $$

由判别式符号判断方程类型：

• $\Delta > 0$（双曲型） —— 代表方程：波动方程 $u_{tt} – a^2 u_{xx} = 0$
• $\Delta = 0$（抛物型） —— 代表方程：热传导方程 $u_t – a^2 u_{xx} = 0$
• $\Delta < 0$（椭圆型） —— 代表方程：Laplace 方程 $u_{xx} + u_{yy} = 0$

2.2 特征方程与特征线

• 特征方程：

$$ a_{11}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 – 2a_{12}\frac{dy}{dx} + a_{22} = 0 $$

• 特征线：上式的解曲线
• 双曲型：两条实特征线；抛物型：一条实特征线；椭圆型：无实特征线

2.3 化为标准型

通过变量变换将方程化为标准形式：

• 双曲型：$u_{\xi\eta} + \cdots = 0$ 或 $u_{\xi\xi} – u_{\eta\eta} + \cdots = 0$
• 抛物型：$u_{\xi\xi} + \cdots = 0$
• 椭圆型：$u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + \cdots = 0$

步骤：

1. 写出特征方程，解出特征线
2. 取特征线为新的自变量，将原方程变换
3. 消去交叉项，化简为标准型

2.4 多个自变量的情形

对于 $n$ 个自变量的二阶线性方程，通过二次型矩阵的特征值符号判断：

• 双曲型：一个特征值符号与其他相反
• 抛物型：有零特征值
• 椭圆型：所有特征值同号

考试提示：必考题——判断方程类型；也可能考化标准型（特征线法）。

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第三章 分离变量法

3.1 核心思想

设解为各变量函数的乘积，代入 PDE 后分离成多个常微分方程，利用边界条件确定特征值/特征函数，叠加后由初始条件确定系数。

3.2 波动方程混合问题（Dirichlet 边界）

问题：

$$ \begin{cases} u_{tt} – a^2 u_{xx} = 0, & 0 < x < l,; t > 0,$$2mm] u(x,0) = \phi(x),\quad u_t(x,0) = \psi(x), & 0 \le x \le l,$$2mm] u(0,t) = 0,\quad u(l,t) = 0, & t \ge 0. \end{cases} $$

步骤：

1. 分离变量：设 $u(x,t) = X(x)T(t)$

   
   

2. 得常微分方程：
   $$
   X” + \lambda X = 0,\qquad T” + \lambda a^2 T = 0
   $$

   
   

3. 解特征值问题（$X” + \lambda X = 0,; X(0) = X(l) = 0$）：

   • $\lambda < 0$：只有零解
   • $\lambda = 0$：只有零解
   • $\lambda > 0$：$\displaystyle \lambda_k = \left(\frac{k\pi}{l}\right)^2,; k=1,2,\dots$
   • 特征函数：$\displaystyle X_k(x) = \sin\frac{k\pi x}{l}$

4. 解时间方程：
   $$
   T_k(t) = A_k\cos\frac{k\pi a}{l}t + B_k\sin\frac{k\pi a}{l}t
   $$

   
   

5. 叠加得级数解：
   $$
   u(x,t) = \sum_{k=1}^\infty \left(A_k\cos\frac{k\pi a}{l}t + B_k\sin\frac{k\pi a}{l}t\right) \sin\frac{k\pi x}{l}
   $$

   
   

6. 初始条件确定系数（Fourier 正弦展开）：
   $$
   A_k = \frac{2}{l}\int_0^l \phi(x)\sin\frac{k\pi x}{l},dx,\qquad
   B_k = \frac{2}{k\pi a}\int_0^l \psi(x)\sin\frac{k\pi x}{l},dx
   $$

   
   

3.3 热传导方程混合问题（Neumann 边界）

问题：

$$ \begin{cases} u_t – a^2 u_{xx} = 0, & 0 < x < l,; t > 0,$$2mm] u(x,0) = \phi(x),\quad 0 \le x \le l,$$2mm] u_x(0,t) = 0,\quad u_x(l,t) = 0, & t \ge 0. \end{cases} $$

特征值问题（$X” + \lambda X = 0,; X'(0) = X'(l) = 0$）：

• $\lambda = 0$：$X_0(x) \equiv 1$（零特征值！）
• $\lambda > 0$：$\displaystyle \lambda_k = \left(\frac{k\pi}{l}\right)^2,; X_k(x) = \cos\frac{k\pi x}{l},; k=1,2,\dots$

级数解：

$$ u(x,t) = A_0 + \sum_{k=1}^\infty A_k e^{-(ak\pi/l)^2 t}\cos\frac{k\pi x}{l} $$

系数由 Fourier 余弦展开确定。

3.4 椭圆型方程（Laplace 方程）的分离变量

以矩形区域上 Dirichlet 问题为例：

$$ u_{xx} + u_{yy} = 0,\quad 0 < x < a,; 0 < y < b $$

$$ u(0,y) = u(a,y) = 0,\quad u(x,0) = 0,\quad u(x,b) = f(x) $$

分离变量 $u(x,y) = X(x)Y(y)$，得：

$$ X” + \lambda X = 0,\quad X(0) = X(a) = 0 \Rightarrow \lambda_k = \left(\frac{k\pi}{a}\right)^2,; X_k(x) = \sin\frac{k\pi x}{a} $$

$$ Y_k(y) = \sinh\frac{k\pi y}{a} \quad(\text{满足 } Y(0)=0) $$

$$ u(x,y) = \sum_{k=1}^\infty A_k \sinh\frac{k\pi y}{a},\sin\frac{k\pi x}{a} $$

系数由 $y=b$ 处的条件确定。

考试提示：分离变量法是考试核心。熟记 Dirichlet 边界（正弦）、Neumann 边界（余弦+常数项）、混合边界的特征函数；注意 Sturm-Liouville 特征值问题 $\lambda>0$ 才有非零解。

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第四章 齐次化方法（Duhamel 原理）

4.1 Duhamel 原理（非齐次方程→齐次方程）

思想：把非齐次项视为一系列瞬时作用的叠加——在时刻 $\tau$ 施加单位脉冲，把非齐次方程的求解转化为一系列齐次方程的积分。

热传导方程 Cauchy 问题

$$ \begin{cases} u_t – a^2 u_{xx} = f(x,t), & -\infty < x < \infty,; t > 0,\ u(x,0) = 0. \end{cases} $$

Duhamel 原理给出：

$$ u(x,t) = \int_0^t w(x,t,\tau),d\tau $$

其中 $w(x,t,\tau)$ 满足齐次方程 + 在 $t=\tau$ 时刻的瞬时源：

$$ \begin{cases} w_t – a^2 w_{xx} = 0, & t > \tau,\ w|_{t=\tau} = f(x,\tau). \end{cases} $$

利用 Poisson 公式，最终解为：

$$ u(x,t) = \int_0^t!!\int_{-\infty}^\infty G(x-y,t-\tau),f(y,\tau),dy,d\tau $$

其中 $G(x,t) = \dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/(4a^2 t)}$ 是热传导方程的基本解。

波动方程 Cauchy 问题

$$ \begin{cases} u_{tt} – a^2 u_{xx} = f(x,t), & -\infty < x < \infty,; t > 0,\ u(x,0) = 0,\quad u_t(x,0) = 0. \end{cases} $$

$$ u(x,t) = \int_0^t w(x,t,\tau),d\tau $$

其中 $w$ 满足：

$$ \begin{cases} w_{tt} – a^2 w_{xx} = 0, & t > \tau,\ w|{t=\tau} = 0,\quad w_t|{t=\tau} = f(x,\tau). \end{cases} $$

4.2 非齐次边界条件的齐次化

处理思路：找一个函数 $v(x,t)$ 满足非齐次边界条件，令 $u = v + w$，则 $w$ 满足齐次边界条件的方程。

考试提示：Duhamel 原理常以推导形式考查。考试中要会写出「设 $w$ 满足⋯」的推导步骤，最后写出积分形式的解。

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第五章 波动方程（双曲型方程）

5.1 一维波动方程——d’Alembert 公式

Cauchy 问题：

$$ \begin{cases} u_{tt} – a^2 u_{xx} = 0, & -\infty < x < \infty,; t > 0,\ u(x,0) = \phi(x),\quad u_t(x,0) = \psi(x). \end{cases} $$

d’Alembert 公式：

$$ u(x,t) = \frac{\phi(x+at) + \phi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi(s),ds $$

相关概念：

• 依赖区间：点 $(x,t)$ 的解依赖于 $[x-at, x+at]$ 上初值
• 决定区域：区间 $[A,B]$ 上的初值决定的区域（特征线夹成的三角形）
• 影响区域：区间 $[A,B]$ 上的初值能影响到的区域

5.2 半直线上波动方程——延拓法

• Dirichlet 端点（$u(0,t)=0$）：奇延拓 $\phi,\psi$ 为奇函数
• Neumann 端点（$u_x(0,t)=0$）：偶延拓 $\phi,\psi$ 为偶函数

5.3 非齐次一维波动方程 Cauchy 问题

$$ \begin{cases} u_{tt} – a^2 u_{xx} = f(x,t),\ u(x,0) = \phi(x),\quad u_t(x,0) = \psi(x). \end{cases} $$

解的叠加：

$$ u(x,t) = \underbrace{\frac{\phi(x+at) + \phi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi(s),ds}_{\text{齐次解（d’Alembert）}}

• \underbrace{\frac{1}{2a}\int_0^t\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(s,\tau),ds,d\tau}_{\text{Duhamel 项}}
  $$

5.4 高维波动方程

三维（球面平均法、Poisson 公式）

$$ u_{tt} – a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = 0 $$

Poisson 公式（$M = (x,y,z)$）：

$$ u(M,t) = \frac{\partial}{\partial t}!\left(t \cdot \frac{1}{4\pi a^2 t^2}\iint_{|P-M|=at} \phi(P),dS\right)

• \frac{1}{4\pi a^2 t^2}\iint_{|P-M|=at} \psi(P),dS
  $$
• Huygens 原理：三维波的传播有清晰波前（无后效）

二维（降维法）

二维波动方程可视为三维的特例（物理上称「柱面波」），通过降维法得到解的积分公式。

• 波的弥散：二维波有后效（拖尾），与三维不同

5.5 能量积分与唯一性

能量守恒（一维波动方程）：

动能 + 势能 = 常数：

$$ E(t) = \frac12\int_0^l \big(u_t^2 + a^2 u_x^2\big),dx = \text{常数} $$

能量不等式可用于证明混合问题和 Cauchy 问题解的唯一性和稳定性。

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第六章 热传导方程（抛物型方程）

6.1 Cauchy 问题——Poisson 公式

$$ \begin{cases} u_t – a^2 u_{xx} = 0, & -\infty < x < \infty,; t > 0,\ u(x,0) = \phi(x). \end{cases} $$

基本解（热核）：

$$ G(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}, e^{-x^2/(4a^2 t)} $$

Poisson 公式：

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty G(x-y,t),\phi(y),dy = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-y)^2/(4a^2 t)},\phi(y),dy $$

高维：基本解为

$$ G(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} e^{-|x|^2/(4a^2 t)} $$

6.2 非齐次热传导方程 Cauchy 问题

$$ u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty G(x-y,t)\phi(y),dy

• \int_0^t\int_{-\infty}^\infty G(x-y,t-\tau)f(y,\tau),dy,d\tau
  $$

6.3 极值原理

热传导方程的极值原理：在有界区域上，解的最大值和最小值一定在初始边界（抛物边界）上达到。

由此可推出：

• 解的唯一性：齐次初边值问题只有零解
• 解的稳定性：定解数据连续依赖

6.4 半直线上的热传导方程

通过延拓法求解，Dirichlet 边界用奇延拓，Neumann 边界用偶延拓。

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第七章 Laplace 方程与 Poisson 方程（椭圆型方程）

7.1 调和函数

满足 Laplace 方程 $\nabla^2 u = 0$ 的函数称为调和函数。

基本性质：

• 平均值性质：球面上/球内的平均值等于球心值
• 极值原理：调和函数在区域内的最大最小值在边界上达到
• 强极值原理：除非是常数，否则极值不能在内部达到
• 解析性：调和函数是解析函数
• Liouville 定理：全空间有界调和函数必为常数

7.2 Green 函数法

基本解：

• 二维：$\displaystyle E(x,y) = \frac{1}{2\pi}\ln\frac1{|x-y|}$
• 三维：$\displaystyle E(x,y) = \frac{1}{4\pi}\frac1{|x-y|}$

Green 函数满足：

$$ \begin{cases} \nabla^2 G(x,y) = -\delta(x-y), & x \in \Omega,\ G|_{\partial\Omega} = 0. \end{cases} $$

Poisson 方程 Dirichlet 问题的解用 Green 函数表示为：

$$ u(x) = \int_\Omega G(x,y),f(y),dy + \int_{\partial\Omega} \frac{\partial G}{\partial n_y}(x,y),\phi(y),dS_y $$

7.3 镜像法求 Green 函数

上半平面（二维）

$$ G(x,y) = \frac{1}{2\pi}\ln\frac1{|x-y|} – \frac{1}{2\pi}\ln\frac1{|x-y^*|} $$

其中 $y^*$ 是 $y$ 关于边界的镜像点。

球域（三维）

$$ G(M,P) = \frac{1}{4\pi}\frac1{|M-P|} – \frac{R}{\rho}\frac{1}{4\pi}\frac1{|M-P^*|} $$

其中 $P^*$ 是球内点 $P$ 关于球面的反演点。

Poisson 积分公式（球上 Dirichlet 问题）：

$$ u(r,\theta,\phi) = \frac{R(R^2-r^2)}{4\pi} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \frac{f(\theta_0,\phi_0)}{(R^2 + r^2 – 2Rr\cos\Theta)^{3/2}} \sin\theta_0,d\theta_0,d\phi_0 $$

7.4 Hopf 引理

若调和函数在边界点达到极值，且边界满足内切球条件，则该点处的外法向导数严格不为零。常用于证明极值原理和相关定理。

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附录：Fourier 变换

Fourier 变换定义

$$ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x),e^{-i\omega x},dx $$

$$ f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega),e^{i\omega x},d\omega $$

常用变换

• 伸缩：$f(ax)$ 的变换为 $\frac1{|a|}\hat{f}(\omega/a)$
• 平移：$f(x-a)$ 的变换为 $e^{-i\omega a}\hat{f}(\omega)$
• 高斯函数：$e^{-ax^2}$ 的变换为 $\displaystyle\sqrt{\frac{\pi}{a}},e^{-\omega^2/(4a)}$
• 狄拉克函数：$\delta(x)$ 的变换为 $1$

应用 PDE

用 Fourier 变换求解热传导方程 Cauchy 问题：对 $x$ 作变换，将 PDE 化为 ODE，解出后再反变换即得 Poisson 公式。

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各章考点速查

各章核心考点及考试频率如下：

• 第一章：判断方程类型（阶/线性/齐次）、三类边界条件 —— ★★★
• 第二章：特征方程、判别式、方程分类、化标准型 —— ★★★★
• 第三章：分离变量法全过程（重中之重） —— ★★★★★
• 第四章：Duhamel 原理的推导与运用 —— ★★★
• 第五章：d’Alembert 公式、Poisson 公式、延拓法、能量积分 —— ★★★★
• 第六章：Poisson 公式、极值原理、Fourier 变换法 —— ★★★
• 第七章：调和函数性质、Green 函数法、镜像法 —— ★★★

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常用公式速记卡

分离变量中的特征值与特征函数：

• Dirichlet 边界 $X(0)=X(l)=0$：

  • 特征值 $\displaystyle\lambda_k = \left(\frac{k\pi}{l}\right)^2$
  • 特征函数 $\displaystyle X_k(x) = \sin\frac{k\pi x}{l}$

• Neumann 边界 $X'(0)=X'(l)=0$：

  • 特征值为 $0$ 和 $\displaystyle\left(\frac{k\pi}{l}\right)^2$
  • 特征函数为 $1$ 和 $\displaystyle\cos\frac{k\pi x}{l}$

• 混合边界 $X(0)=X'(l)=0$：

  • 特征值 $\displaystyle\lambda_k = \left(\frac{(2k-1)\pi}{2l}\right)^2$
  • 特征函数 $\displaystyle X_k(x) = \sin\frac{(2k-1)\pi x}{2l}$

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考试答题建议

1. 先看方程类型：双曲、抛物、椭圆？决定用什么方法
2. 确认区域：无界→Fourier 变换/d’Alembert；有界→分离变量
3. 看初边值：齐次/非齐次？非齐次就用 Duhamel 原理或齐次化
4. 分离变量一定写步骤：
   • 设 $u = XT$
   • 分离得两个 ODE
   • 解特征值问题（讨论 $\lambda <0,=0,>0$）
   • 写级数解 → 初始条件求系数
5. d’Alembert 公式直接套时，注意积分上下限
6. Poisson 公式记基本解 $G(x,t)$，会套即可

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生成日期：2026-07-02 参考教材：朱长江、阮立志《偏微分方程简明教程》第2版 参考课件：课程 PPT（共 28 个课时幻灯片）